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November 2020 Cutoff for random walk on dynamical Erdős–Rényi graph
Perla Sousi, Sam Thomas
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56(4): 2745-2773 (November 2020). DOI: 10.1214/20-AIHP1057

Abstract

We consider dynamical percolation on the complete graph $K_{n}$, where each edge refreshes its state at rate $\mu \ll 1/n$, and is then declared open with probability $p=\lambda /n$ where $\lambda >1$. We study a random walk on this dynamical environment which jumps at rate $1/n$ along every open edge. We show that the mixing time of the full system exhibits cutoff at $\frac{3}{2}\log n/\mu $. We do this by showing that the random walk component mixes faster than the environment process; along the way, we control the time it takes for the walk to become isolated.

Nous considérons le modèle de percolation dynamique sur le graphe complet $K_{n}$, où chaque arête réactualise son état au taux $\mu \ll 1/n$, et est ensuite déclarée ouverte avec probabilité $p=\lambda /n$, où $\lambda >1$. Nous étudions une marche aléatoire sur cet environnement dynamique qui saute à taux $1/n$ à travers chaque arête ouverte. Nous montrons que le temps de mélange de tout ce processus a un cutoff au temps $\frac{3}{2}\log n/\mu $. Nous l’obtenons en montrant que la composante marche aléatoire mélange plus vite que le processus d’environnement; au passage nous contrôlons le temps que met la marche avant d’être isolée.

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Perla Sousi. Sam Thomas. "Cutoff for random walk on dynamical Erdős–Rényi graph." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (4) 2745 - 2773, November 2020. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1057

Information

Received: 20 March 2019; Revised: 30 October 2019; Accepted: 6 March 2020; Published: November 2020
First available in Project Euclid: 21 October 2020

MathSciNet: MR4164855
Digital Object Identifier: 10.1214/20-AIHP1057

Subjects:
Primary: 05C81, 60J27, 60K35, 60K37

Rights: Copyright © 2020 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
29 PAGES

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Vol.56 • No. 4 • November 2020
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