The Skorokhod embedding problem for inhomogeneous diffusions

Abstract

We solve the Skorokhod embedding problem for a class of stochastic processes satisfying an inhomogeneous stochastic differential equation (SDE) of the form $\mathrm{d}A_{t}=\mu(t,A_{t})\,\mathrm{d}t+\sigma(t,A_{t})\,\mathrm{d}W_{t}$. We provide sufficient conditions guaranteeing that for a given probability measure $\nu$ on $\mathbb{R}$ there exists a bounded stopping time $\tau$ and a real $a$ such that the solution $(A_{t})$ of the SDE with initial value $a$ satisfies $A_{\tau}\sim\nu$. We hereby distinguish the cases where $(A_{t})$ is a solution of the SDE in a weak or strong sense. Our construction of embedding stopping times is based on a solution of a fully coupled forward-backward SDE. We use the so-called method of decoupling fields for verifying that the FBSDE has a unique solution. Finally, we sketch an algorithm for putting our theoretical construction into practice and illustrate it with a numerical experiment.

Nous résolvons le problème de plongement de Skorokhod pour une classe de processus stochastiques satisfaisant une équation différentielle stochastique (EDS) non homogène de la forme $\mathrm{d}A_{t}=\mu(t,A_{t})\,\mathrm{d}t+\sigma(t,A_{t})\,\mathrm{d}W_{t}$. Nous fournissons des conditions suffisantes garantissant que, pour une mesure de probabilité $\nu$ sur $\mathbb{R}$, il existe un temps d’arrêt borné $\tau$ et un réel $a$ tels que la solution $(A_{t})$ de l’EDS avec condition initiale $a$ satisfait $A_{\tau}\sim\nu$. Nous distinguons ici les cas où $(A_{t})$ est une solution de l’EDS dans un sens faible ou fort. Notre construction des temps d’arrêt de plongement est basée sur une solution d’une EDS progressive rétrograde totalement couplée. Nous utilisons la méthode des decoupling fields pour vérifier que l’EDSPR a une solution unique. Enfin, nous esquissons un algorithme pour mettre en pratique notre construction théorique et l’illustrons par une simulation numérique.