Superdiffusions with super-exponential growth: Construction, mass and spread

Abstract

Superdiffusions corresponding to differential operators of the form $Lu+\beta u-\alpha u^{2}$ with mass creation (potential) terms $\beta (\cdot )$ that are ‘large functions’ are studied. Our construction for superdiffusions with large mass creations works for the branching mechanism $\beta u-\alpha u^{1+\gamma },0<\gamma <1$, as well.

Let $D\subseteq \mathbb{R}^{d}$ be a domain in $\mathbb{R}^{d}$. When $\beta $ is large, the generalized principal eigenvalue $\lambda _{c}$ of $L+\beta $ in $D$ is typically infinite. Let $\{T_{t},t\ge 0\}$ denote the Schrödinger semigroup of $L+\beta $ in $D$ with zero Dirichlet boundary condition. Under the mild assumption that there exists an $0<h\in C^{2}(D)$ so that $T_{t}h$ is finite-valued for all $t\ge 0$, we show that there is a unique $\mathcal{M}_{\mathrm{loc}}(D)$-valued Markov process that satisfies a log-Laplace equation in terms of the minimal nonnegative solution to a semilinear initial value problem. Although for super-Brownian motion (SBM) this assumption requires $\beta $ to be less than quadratic, the quadratic case will be treated as well.

When $\lambda _{c}=\infty $, the usual machinery, including martingale methods and PDE as well as other similar techniques cease to work effectively, both for the construction and for the investigation of the large time behavior of superdiffusions. In this paper, we develop the following two new techniques for the study of the local/global growth of mass and for the spread of superdiffusions:

• a generalization of the Fleischmann–Swart ‘Poisson-coupling,’ linking superprocesses with branching diffusions;

• the introduction of a new concept: the ‘$p$-generalized principal eigenvalue.’

The precise growth rate for the total population of SBM with $\alpha (x)=\beta (x)=1+|x|^{p}$ for $p\in [0,2]$ is given in this paper.

Nous étudions des superdiffusions qui correspondent à des opérateurs différentiels de la forme $Lu+\beta u-\alpha u^{2}$ tels que le terme de création de masse (potentiel) $\beta (\cdot )$ est une « grande fonction ». Notre construction pour les superdiffusions avec un grand terme de création de masse fonctionne aussi pour le mécanisme de branchement $\beta u-\alphau^{1+\gamma },0<\gamma <1$.

Soit $D\subseteq \mathbb{R}^{d}$ un domaine dans $\mathbb{R}^{d}$. Lorsque $\beta$ est grand, la valeur propre principale généralisée $\lambda _{c}$ de $L+\beta $ dans $D$ est typiquement infinie. Soit $\{T_{t},t\ge 0\}$ le semigroupe de Schrödinger de $L+\beta $ dans $D$ avec condition aux limites de Dirichlet égale à zéro. Sous l’hypothèse légère qu’il existe un $0<h\in C^{2}(D)$ tel que $T_{t}h$ a une valeur finie pour tout $t\ge 0$, nous montrons qu’il existe un unique processus de Markov à valeurs dans $\mathcal{M}_{\mathrm{loc}}(D)$ satisfaisant une équation log-Laplace en fonction de la solution positive minimale d’un problèmeaux valeurs initiales semi-linéaire. Bien que pour le super-mouvement brownien (SMB), cette hypothèse demande que la fonction $\beta $ soit dominée par une fonction quadratique, nous traitons aussi le cas quadratique.

Quand $\lambda _{c}=\infty $, les techniques habituelles, y compris les méthodes de martingale et les équations différentielles partielles, ainsi que d’autres techniques similaires, cessent d’être efficaces pour la construction des superdiffusions et pour l’étude de leur comportement en temps grand.

Dans cet article, nous développons les deux nouvelles techniques suivantes pour l’étude de la croissance locale/globale de la masse et pour l’étude de la propagation des superdiffusions :

• une généralisation du « Poisson-coupling » de Fleischmann–Swart, liant les super-processus aux diffusions branchantes ;

• l’introduction d’un nouveau concept : la « valeur propre principale $p$-généralisée ».

Nous identifions aussi le taux de croissance précis de la population totale du SMB pour $\alpha (x)=\beta (x)=1+|x|^{p}$ et $p\in [0,2]$.