Random permutations with logarithmic cycle weights

Abstract

We consider random permutations on $\mathfrak{S}_{n}$ with logarithmic growing cycles weights and study the asymptotic behavior as the length $n$ tends to infinity. We show that the cycle count process converges to a vector of independent Poisson variables and also compute the total variation distance between both processes. Next, we prove a central limit theorem for the total number of cycles. Furthermore we establish a shape theorem and a functional central limit theorem for the Young diagrams associated to random permutations under this measure. We prove these results using tools from complex analysis and combinatorics. In particular we have to apply the method of singularity analysis to generating functions of the form $\exp ((-\log(1-z))^{k+1})$ with $k\geq1$, which have not yet been studied in the literature.

Nous considérons les permutations aléatoires sur $\mathfrak{S}_{n}$ dont les poids des cycles sont à croissance logarithmique et nous étudions le comportement asymptotique quand la longueur $n$ tend vers l’infini. Nous montrons que le processus de comptage des cycles converge vers un vecteur de variables de Poisson indépendantes et nous calculons également la distance en variation totale entre les deux processus. Ensuite, nous prouvons un théorème central limite pour le nombre total de cycles. En outre, nous établissons un théorème de forme et un théorème central limite fonctionnel pour les diagrammes de Young associés à des permutations aléatoires sous cette mesure.

Nous prouvons ces résultats à l’aide d’outils d’analyse complexe et de combinatoire. En particulier nous devons appliquer la méthode d’analyse de singularité aux fonctions génératrices de la forme $\exp((-\log(1-z))k+1)$ avec $k\geq1$, qui n’ont pas encore été étudiées dans la littérature.