Diffusive scaling of the Kob–Andersen model in ${\mathbb{Z}}^{d}$

Abstract

We consider the Kob–Andersen model, a cooperative lattice gas with kinetic constraints which has been widely analysed in the physics literature in connection with the study of the liquid/glass transition. We consider the model in a finite box of linear size $L$ with sources at the boundary. Our result, which holds in any dimension and significantly improves upon previous ones, establishes for any positive vacancy density $q$ a purely diffusive scaling of the relaxation time $T_{\mathrm{rel}}(q,L)$ of the system. Furthermore, as $q\downarrow0$ we prove upper and lower bounds on $L^{-2}T_{\mathrm{rel}}(q,L)$ which agree with the physicists belief that the dominant equilibration mechanism is a cooperative motion of rare large droplets of vacancies. The main tools combine a recent set of ideas and techniques developed to establish universality results for kinetically constrained spin models, with methods from bootstrap percolation, oriented percolation and canonical flows for Markov chains.

On considère le modèle de Kob–Andersen (KA), un modèle de particules sur réseau avec dynamique conservative et contraintes cinétiques. KA a été étudié en profondeur dans la literature physique en relation avec l’étude de la transition liquide/verre. On étudie le modèle dans une boite finie de taille $L$ avec un réservoir de particules aux bords. Notre résultat, qui est valable en toute dimension et qui améliore d’une façon très significative les résultats précédents, établit que pour toute densité de sites vides $q$ telle que $q>0$, le temps de relaxation du système, $T_{\mathrm{rel}}(q;L)$, est purement diffusif. De plus, on établit des bornes supérieures et inférieures pour $L^{-2}T_{\mathrm{rel}}(q;L)$ qui sont en accord avec l’heuristique des physiciens selon laquelle, quand $q\downarrow0$, le mécanisme dominant de relaxation est un mouvement coopératif de grandes et rares gouttelettes formées par des sites vides. Nos outils principaux mélangent : un ensemble de techniques et idées developpées pour établir les résultats d’universalité pour les modèles de spin avec contraintes cinétiques ; des méthodes developpeés en percolation bootstrap ; des méthodes developpées en percolation dirigée ; et la technique de chemins canoniques pour les chaînes de Markov.