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May 2020 The sharp phase transition for level set percolation of smooth planar Gaussian fields
Stephen Muirhead, Hugo Vanneuville
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56(2): 1358-1390 (May 2020). DOI: 10.1214/19-AIHP1006

Abstract

We prove that the connectivity of the level sets of a wide class of smooth centred planar Gaussian fields exhibits a phase transition at the zero level that is analogous to the phase transition in Bernoulli percolation. In addition to symmetry, positivity and regularity conditions, we assume only that correlations decay polynomially with exponent larger than two – roughly equivalent to the integrability of the covariance kernel – whereas previously the phase transition was only known in the case of the Bargmann–Fock covariance kernel which decays super-exponentially. We also prove that the phase transition is sharp, demonstrating, without any further assumption on the decay of correlations, that in the sub-critical regime crossing probabilities decay exponentially.

Key to our methods is the white-noise representation of a Gaussian field; we use this on the one hand to prove new quasi-independence results, inspired by the notion of influence from Boolean functions, and on the other hand to establish sharp thresholds via the OSSS inequality for i.i.d. random variables, following the recent approach of Duminil-Copin, Raoufi and Tassion.

Nous démontrons l’existence d’un phénomène de transition de phase pour les propriétés de connexion de lignes de niveau d’une grande classe de champs gaussiens planaires. En plus d’hypothèses de symétrie, régularié et positivité des corrélations, nous supposons que la covariance de ces champs décroît à vitesse polynomiale avec un exposant strictement plus grand que $2$. Nous montrons par ailleurs que la transition de phase est “nette” dans le sens que, dans la phase sous-critique, les probabilités de connexion convergent vers $0$ à vitesse exponentielle. Dans nos preuves, nous utilisons de façon centrale l’écriture des champs gaussiens lisses à l’aide d’un bruit blanc planaire. Nous utilisons cette représentation pour prouver de nouveaux résultats de quasi-indépendance spatiale, inspirés par la notion d’influence en théorie des fonctions booléennes. Par ailleurs, la structure produit du buit blanc nous permet d’utiliser l’inégalité d’OSSS, qui est une inégalité clef dans la récente approche d’étude des transitions de phase par Duminil-Copin, Raoufi et Tassion.

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Stephen Muirhead. Hugo Vanneuville. "The sharp phase transition for level set percolation of smooth planar Gaussian fields." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 56 (2) 1358 - 1390, May 2020. https://doi.org/10.1214/19-AIHP1006

Information

Received: 25 January 2019; Accepted: 27 May 2019; Published: May 2020
First available in Project Euclid: 16 March 2020

zbMATH: 07199901
MathSciNet: MR4076787
Digital Object Identifier: 10.1214/19-AIHP1006

Subjects:
Primary: 60G60, 60K35

Rights: Copyright © 2020 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
33 PAGES

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Vol.56 • No. 2 • May 2020
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