Infinite geodesics in hyperbolic random triangulations

Abstract

We study the structure of infinite geodesics in the Planar Stochastic Hyperbolic Triangulations $\mathbb{T}_{\lambda }$ introduced in (Probab. Theory Related Fields 165 (2016) 509–540). We prove that these geodesics form a supercritical Galton–Watson tree with geometric offspring distribution. The tree of infinite geodesics in $\mathbb{T}_{\lambda }$ provides a new notion of boundary, which is a realization of the Poisson boundary. By scaling limit arguments, we also obtain a description of the tree of infinite geodesics in the hyperbolic Brownian plane. Finally, by combining our main result with a forthcoming paper (Budzinski (2018)), we obtain new hyperbolicity properties of $\mathbb{T}_{\lambda }$: they satisfy a weaker form of Gromov-hyperbolicity and admit bi-infinite geodesics.

Nous étudions la structure des géodésiques infinies dans les Triangulations Planaires Stochastiques Hyperboliques (PSHT) $\mathbb{T}_{\lambda }$ introduites dans (Probab. Theory Related Fields 165 (2016) 509–540). Nous montrons que ces géodésiques forment un arbre de Galton–Watson surcritique de loi de reproduction géométrique. L’arbre des géodésiques infinies de $\mathbb{T}_{\lambda }$ fournit une nouvelle notion de bord, qui est une réalisation de la frontière de Poisson. Par des arguments de limites d’échelle, on en déduit une description de l’arbre des géodésiques infinies du plan brownien hyperbolique. Enfin, en combinant notre résultat principal avec ceux de (Budzinski (2018)), nous obtenons de nouvelles propriétés d’hyperbolicité de $\mathbb{T}_{\lambda }$ : ces triangulations vérifient une forme faible d’hyperbolicité à la Gromov, et admettent des géodésiques bi-infinies.