Indistinguishability of collections of trees in the uniform spanning forest

Abstract

We prove the following indistinguishability theorem for $k$-tuples of trees in the uniform spanning forest of $\mathbb{Z}^{d}$: Suppose that $\mathscr{A}$ is a property of a $k$-tuple of components that is stable under finite modifications of the forest. Then either every $k$-tuple of distinct trees has property $\mathscr{A}$ almost surely, or no $k$-tuple of distinct trees has property $\mathscr{A}$ almost surely. This generalizes the indistinguishability theorem of the author and Nachmias (2016), which applied to individual trees. Our results apply more generally to any graph that has the Liouville property and for which every component of the USF is one-ended.

Dans cet article, nous prouvons le théorème d’indistinguabilité suivant pour les $k$-uplets d’arbres dans le modèle de forêt couvrante uniforme sur $\mathbb{Z}^{d}$ : supposons que $\mathscr{A}$ est une propriété d’un $k$-uplet de composantes connexes qui est stable par modification finie de la forêt, alors ou bien chaque $k$-uplet satisfait la propriété $\mathscr{A}$ presque sûrement, ou bien aucun ne la satisfait presque sûrement. Ce résultat étend le théorème d’indistinguabilité de l’auteur et de Nachmias (2016) qui ne couvrait que le cas d’arbres pris individuellement. Notre résultat s’applique plus généralement à tout graphe vérifiant la propriété de Liouville et pour lequel toutes les composantes connexes de la FCU ont un seul bout.