Estimating functions for SDE driven by stable Lévy processes

Abstract

This paper is concerned with parametric inference for a stochastic differential equation driven by a pure-jump Lévy process, based on high frequency observations on a fixed time period. Assuming that the Lévy measure of the driving process behaves like that of an $\alpha$-stable process around zero, we propose an estimating functions based method which leads to asymptotically efficient estimators for any value of $\alpha\in(0,2)$ and does not require any integrability assumptions on the process. The main limit theorems are derived thanks to a control in total variation distance between the law of the normalized process, in small time, and the $\alpha$-stable distribution. This method is an alternative to the non Gaussian quasi-likelihood estimation method proposed by Masuda (Stochastic Process. Appl. (2018) To appear) where the Blumenthal–Getoor index $\alpha$ is restricted to belong to the interval $[1,2)$.

Dans cet article, nous étudions l’estimation des paramètres d’une équation différentielle stochastique dirigée par un processus de saut pur, à partir d’observations hautes fréquences du processus sur un intervalle de temps fixe. En supposant que la mesure de Lévy du processus de saut qui dirige l’équation se comporte autour de zéro comme la mesure de Lévy d’un processus $\alpha$-stable, nous proposons une méthode d’estimation basée sur des fonctions estimantes qui conduit à des estimateurs asymptotiquement efficaces des paramètres de tendance et d’échelle, pour toute valeur de $\alpha\in(0,2)$, et qui ne nécessite pas de conditions d’intégrabilité du processus. Les principaux résultats asymptotiques sont obtenus grâce à un contrôle en variation totale entre la loi du processus renormalisé, en temps petit, et la loi $\alpha$-stable. Cette méthode est une alternative à la méthode de quasi-vraisemblance non gaussienne proposée par Masuda (Stochastic Process. Appl. (2018) To appear), où l’indice de Blumenthal–Getoor $\alpha$ appartient à l’interval $[1,2)$.