Hausdorff dimension of the scaling limit of loop-erased random walk in three dimensions

Abstract

Let $M_{n}$ be the length (number of steps) of the loop-erasure of a simple random walk up to the first exit from a ball of radius $n$ centered at its starting point. It is shown in (Ann. Probab. 46 (2) (2018) 687–774) that there exists $\beta\in(1,\frac{5}{3}]$ such that $E(M_{n})$ is of order $n^{\beta}$ in 3 dimensions. In the present article, we show that the Hausdorff dimension of the scaling limit of the loop-erased random walk in 3 dimensions is equal to $\beta$ almost surely.

Soit $M_{n}$ la longueur (nombre de pas) d’une marche aléatoire simple à boucles effacées considérée jusqu’à la première sortie d’une boule de rayon $n$ centrée en son point de départ. Il est démontré dans (Ann. Probab. 46 (2) (2018) 687–774) qu’il existe $\beta\in(1,\frac{5}{3}]$ tel que $E(M_{n})$ est d’ordre $n^{\beta}$ en dimension 3. Dans le présent article, nous montrons que la dimension de Hausdorff de la limite d’échelle de la marche aléatoire effacée en dimension $3$ est égale à $\beta$ presque sûrement.