Support theorem for a singular SPDE: The case of gPAM

Abstract

We consider the generalized parabolic Anderson equation (gPAM) in 2 dimensions with periodic boundary. This is an example of a singular semilinear stochastic partial differential equation in the subcritical regime, with (renormalized) solutions only recently understood via Hairer’s regularity structures and, in some cases equivalently, paracontrollled distributions by Gubinelli, Imkeller and Perkowski. In the present paper we utilise the paracontrolled machinery and obtain a (Stroock–Varadhan) type support description for the law of gPAM. In the spirit of rough paths, the crucial step is to identify the support of the enhanced noise in a sufficiently fine topology. The renormalization is seen to affect the support description.

On considère l’équation d’Anderson parabolique généralisée (gPAM) en dimension 2 avec condition au bord périodique. Cette équaton est une équation aux dérivées partielles stochastique singulière qui a été étudiée en utilisant les structures de régularité introduites par M. Hairer ou de manière équivalente par les distributions paracontrolées introduites M. Gubinelli, P. Imkeller et N. Perkpowski. Dans ce travail on se propose d’utiliser la notion de distribution paracontrolée afin d’obtenir le support (de type Stroock–Varadhan) de la loi de gPAM. Dans le même esprit que les chemins rugueux, le point crucial est d’identifier le support du bruit augmenté dans une topologie assez fine. On voit dans ce modèle que la renormalisation affecte le support de la solution.