Homogenization via sprinkling

Abstract

We show that a superposition of an $\varepsilon$-Bernoulli bond percolation and any everywhere percolating subgraph of $\mathbb{Z}^{d}$, $d\ge2$, results in a connected subgraph, which after a renormalization dominates supercritical Bernoulli percolation. This result, which confirms a conjecture from (J. Math. Phys. 41 (2000) 1294–1297), is mainly motivated by obtaining finite volume characterizations of uniqueness for general percolation processes.

On considère un sous-graphe de $\mathbb{Z}^{d}$, $d\ge2$, dont toutes les composantes connexes sont infinies. On montre que la superposition d’un tel sous-graphe avec une $\varepsilon$-percolation forme un graphe connexe qui, convenablement renormalisé, domine une percolation de Bernoulli surcritique. Ce résultat confirme une conjecture énoncée dans (J. Math. Phys. 41 (2000) 1294–1297), et sa motivation principale est d’obtenir des caractérisations en volume fini de l’unicité de l’amas infini pour des processus de percolation généraux.