Random walks on quasi one dimensional lattices: Large deviations and fluctuation theorems

Abstract

Several stochastic processes modeling molecular motors on a linear track are given by random walks (not necessarily Markovian) on quasi 1d lattices and share a common regenerative structure. Analyzing this abstract common structure, we derive information on the large fluctuations of the stochastic process by proving large deviation principles for the first-passage times and for the position. We focus our attention on the Gallavotti–Cohen-type symmetry of the position rate function (fluctuation theorem), showing its equivalence with the independence of suitable random variables. In the special case of Markov random walks, we show that this symmetry is universal only inside a suitable class of quasi 1d lattices.

Nous considérons différents processus stochastiques modélisant des moteurs moléculaires : il s’agit de marches aléatoires, non nécessairement markoviennes, le long d’un rail linéaire, presque un réseau unidimensionnel, qui partagent une même structure de régénération. En analysant cette structure abstraite commune nous contrôlons les grandes déviations du processus stochastique, nous établissons des principes de grandes déviations pour les temps de premier passage et pour la variable de position. Nous nous concentrons sur les symétries de type Gallavotti–Cohen de la fonction de taux positionnelle (théorème de fluctuations), en montrant son équivalence avec l’indépendance de certaines variables aléatoires. Dans le cas particulier des marches aléatoires markoviennes, nous montrons que cette symétrie n’est universelle qu’au sein d’une classe particulière de réseaux presque unidimensionnels.