Height fluctuations in interacting dimers

Abstract

We consider a non-integrable model for interacting dimers on the two-dimensional square lattice. Configurations are perfect matchings of $\mathbb{Z}^{2}$, i.e. subsets of edges such that each vertex is covered exactly once (“close-packing” condition). Dimer configurations are in bijection with discrete height functions, defined on faces $\boldsymbol{\xi}$ of $\mathbb{Z}^{2}$. The non-interacting model is “integrable” and solvable via Kasteleyn theory; it is known that all the moments of the height difference $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ converge to those of the massless Gaussian Free Field (GFF), asymptotically as $|\boldsymbol{\xi} -\boldsymbol{\eta} |\to\infty$. We prove that the same holds for small non-zero interactions, as was conjectured in the theoretical physics literature. Remarkably, dimer-dimer correlation functions are instead not universal and decay with a critical exponent that depends on the interaction strength. Our proof is based on an exact representation of the model in terms of lattice interacting fermions, which are studied by constructive field theory methods. In the fermionic language, the height difference $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ takes the form of a non-local operator, consisting of a sum of monomials along an arbitrary path connecting $\boldsymbol{\xi}$ and $\boldsymbol{\eta}$. As in the non-interacting case, this path-independence plays a crucial role in the proof.

Nous étudions un modèle non integrable de dimères en interaction sur le réseau carré bidimensionnel. Les configurations sont des appariements parfaits de $\mathbb{Z}^{2}$, i.e. des sous-ensembles d’arêtes tels que tout sommet est contenu dans une et une seule arête (condition de “close-packing”). Les configurations de dimères sont en bijection avec une fonction de hauteur discrète, définie sur les faces $\boldsymbol{\xi}$ de $\mathbb{Z}^{2}$. Le modèle sans interaction est “integrable” et resoluble par la théorie de Kasteleyn; il est connu que tous les moments de la différence de hauteur $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ convergent vers ceux du champ Gaussien libre (GFF), dans la limite où $|\boldsymbol{\xi} -\boldsymbol{\eta} |\to\infty$. Nous démontrons que le même résultat est valable quand le paramètre d’interaction est non nul et petit, comme il avait été conjecturé dans la littérature physique. Il est remarquable que, d’autre côté, les fonctions de correlation dimère-dimère ne sont pas universelles et décroissent avec un exposant critique qui dépend de la force de l’interaction. Notre preuve se base sur une representation exacte du modèle en termes de fermions en interaction su réseau, que nous étudions par des outils de la théorie constructive des champs. Dans le language fermionique, la différence de hauteur $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ est un opérateur non local, qui s’écrit comme une somme de monômes le long d’un chemin arbitraire qui relie $\boldsymbol{\xi}$ et $\boldsymbol{\eta}$. Tout comme dans le cas sans interaction, l’indépendance par rapport au choix du chemin joue un rôle crucial dans la preuve.