A simpler proof for the dimension of the graph of the classical Weierstrass function

Abstract

Let $W_{\lambda,b}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{n}g(b^{n}x)$ where $b\geq2$ is an integer and $g(u)=\cos(2\pi u)$ (classical Weierstrass function). Building on work by Ledrappier (In Symbolic Dynamics and Its Applications (1992) 285–293), Barański, Bárány and Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) and Tsujii (Nonlinearity 14 (2001) 1011–1027), we provide an elementary proof that the Hausdorff dimension of $W_{\lambda,b}$ equals $2+\frac{\log\lambda }{\log b}$ for all $\lambda\in(\lambda_{b},1)$ with a suitable $\lambda_{b}<1$. This reproduces results by Barański, Bárány and Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) without using the dimension theory for hyperbolic measures of Ledrappier and Young (Ann. of Math. (2) 122 (1985) 540–574; Comm. Math. Phys. 117 (1988) 529–548), which is replaced by a simple telescoping argument together with a recursive multi-scale estimate.

Soit $W_{\lambda,b}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{n}g(b^{n}x)$, où $b\geq2$ est un nombre entier et $g(u)=\cos(2\pi u)$ (fonction de Weierstrass classique). En utilisant des idées et résultats de Ledrappier (In Symbolic Dynamics and Its Applications (1992) 285–293), de Barański, Bárány et Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) et de Tsujii (Nonlinearity 14 (2001) 1011–1027), nous présentons une démonstration élémentaire du fait que la dimension de Hausdorff de $W_{\lambda,b}$ est égale à $2+\frac{\log\lambda}{\log b}$ pour tout $\lambda\in(\lambda_{b},1)$ avec $\lambda_{b}<1$ approprié. Cela reproduit des résultats de Barański, Bárány et Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) sans utiliser la théorie de dimension des mesures hyperboliques de Ledrappier et Young (Ann. of Math. (2) 122 (1985) 540–574 ; Comm. Math. Phys. 117 (1988) 529–548), laquelle est remplacée par un argument téléscopique élémentaire conjointement avec une estimation récursive multi-échelle.