Independences and partial $R$-transforms in bi-free probability

Abstract

In this paper, we examine how various notions of independence in non-commutative probability theory arise in bi-free probability. We exhibit how Boolean and monotone independence occur from bi-free pairs of faces and establish a Kac/Loeve Theorem for bi-free independence. In addition, we prove that bi-freeness is preserved under tensoring with matrices. Finally, via combinatorial arguments, we construct partial $R$-transforms in two settings relating the moments and cumulants of a left–right pair of operators.

Dans cet article, nous examinons comment diverses notions d’indépendance en théorie des probabilités non commutatives se traduisent en probabilités bi-libres. Nous montrons comment l’indépendance booléenne et monotone se produisent à partir de paires de faces bi-libres, et établissons un théorème de Kac/Loève pour l’indépendance bi-libre. En outre, nous prouvons que l’indépendance bi-libre est préservée par tensorisation avec des matrices. Enfin, par des arguments combinatoires, nous construisons deux types de $R$-transformations partielles, reliant les moments et les cumulants d’une paire gauche-droite des opérateurs.