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November 2015 Exponential asymptotics for time–space Hamiltonians
Xia Chen, Yaozhong Hu, Jian Song, Fei Xing
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51(4): 1529-1561 (November 2015). DOI: 10.1214/13-AIHP588

Abstract

In this paper, we investigate the long time asymptotics of the exponential moment for the following time–space Hamiltonian

\[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}{\frac{1}{\vert r-s\vert^{\alpha_{0}}}}\gamma (B_{r}-B_{s})\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}r,\quad t\ge0,\] where $(B_{s},s\ge0)$ is a $d$-dimensional Brownian motion, the kernel $\gamma(\cdot):\mathbb{R}^{d}\rightarrow [0,\infty)$ is a homogeneous function with singularity at zero; and $\alpha_{0}\in(0,1)$ together with the scaling parameter of $\gamma$ satisfies certain conditions. Our work is partially motivated by the studies of the short-range sample-path intersection, the strong coupling polaron, and the parabolic Anderson models with a time–space fractional white noise potential.

Dans ce papier, nous étudions le comportement en temps long du moment exponentiel du Hamiltonien dépendant du temps

\[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}{\frac{1}{\vert r-s\vert^{\alpha_{0}}}}\gamma(B_{r}-B_{s})\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}r,\quad t\ge0,\] où $(B_{s},s\ge0)$ est un mouvement brownien de dimension $d$, le noyau $\gamma(\cdot):\mathbb{R}^{d}\rightarrow [0,\infty)$ est une fonction homogène avec une singularité en zéro, $\alpha_{0}\in(0,1)$ et le paramètre de scaling $\gamma$ satisfont certaines conditions. Notre travail est partiellement motivé par l’étude des intersections ą courte portée de trajectoires, le polaron avec couplage fort et le modèle parabolique d’Anderson avec un potentiel donné par un bruit blanc fractionnaire en espace–temps.

Citation

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Xia Chen. Yaozhong Hu. Jian Song. Fei Xing. "Exponential asymptotics for time–space Hamiltonians." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51 (4) 1529 - 1561, November 2015. https://doi.org/10.1214/13-AIHP588

Information

Received: 17 November 2012; Revised: 19 September 2013; Accepted: 22 September 2013; Published: November 2015
First available in Project Euclid: 21 October 2015

zbMATH: 1337.60201
MathSciNet: MR3414457
Digital Object Identifier: 10.1214/13-AIHP588

Subjects:
Primary: 60F10 , 60G55 , 60J65 , 60K37 , 60K40

Keywords: Brownian motion , Feynman–Kac large deviations , Time–space Hamiltonian

Rights: Copyright © 2015 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
33 PAGES


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Vol.51 • No. 4 • November 2015
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