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November 2015 Convergence of bi-measure $\mathbb{R}$-trees and the pruning process
Wolfgang Löhr, Guillaume Voisin, Anita Winter
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51(4): 1342-1368 (November 2015). DOI: 10.1214/14-AIHP628

Abstract

In (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 34 (1998) 637–686) a tree-valued Markov chain is derived by pruning off more and more subtrees along the edges of a Galton–Watson tree. More recently, in (Ann. Probab. 40 (2012) 1167–1211), a continuous analogue of the tree-valued pruning dynamics is constructed along Lévy trees. In the present paper, we provide a new topology which allows to link the discrete and the continuous dynamics by considering them as instances of the same strong Markov process with different initial conditions. We construct this pruning process on the space of so-called bi-measure trees, which are metric measure spaces with an additional pruning measure. The pruning measure is assumed to be finite on finite trees, but not necessarily locally finite. We also characterize the pruning process analytically via its Markovian generator and show that it is continuous in the initial bi-measure tree. A series of examples is given, which include the finite variance offspring case where the pruning measure is the length measure on the underlying tree.

Dans (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 34 (1998) 637–686), les auteurs obtiennent une chaîne de Markov à valeurs arbres en élaguant de plus en plus de sous-arbres le long des nœuds d’un arbre de Galton–Watson. Plus récemment dans (Ann. Probab. 40 (2012) 1167–1211), un analogue continu de la dynamique d’élagage à valeurs arbres est construit sur des arbres de Lévy. Dans cet article, nous présentons une nouvelle topologie qui permet de relier les dynamiques discrètes et continues en les considérant comme des exemples du même processus de Markov fort avec des conditions initiales différentes. Nous construisons ce processus d’élagage sur l’espace des arbres appelés bi-mesurés, qui sont des espaces métriques mesurés avec une mesure d’élagage additionnelle. La mesure d’élagage est supposée finie sur les arbres finis, mais pas nécessairement localement finie. De plus, nous caractérisons analytiquement le processus d’élagage par son générateur infinitésimal et montrons qu’il est continu en son arbre bi-mesuré initial. Plusieurs exemples sont donnés, notamment le cas d’une loi de reproduction à variance finie où la mesure d’élagage est la mesure des longueurs sur l’arbre sous-jacent.

Citation

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Wolfgang Löhr. Guillaume Voisin. Anita Winter. "Convergence of bi-measure $\mathbb{R}$-trees and the pruning process." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51 (4) 1342 - 1368, November 2015. https://doi.org/10.1214/14-AIHP628

Information

Received: 19 April 2013; Revised: 21 January 2014; Accepted: 3 June 2014; Published: November 2015
First available in Project Euclid: 21 October 2015

zbMATH: 1339.60123
MathSciNet: MR3414450
Digital Object Identifier: 10.1214/14-AIHP628

Subjects:
Primary: 05C05, 05C10, 60B12, 60F05, 60G55, 60J25

Rights: Copyright © 2015 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
27 PAGES


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Vol.51 • No. 4 • November 2015
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