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November 2015 Branching processes with interaction and a generalized Ray–Knight Theorem
Mamadou Ba, Etienne Pardoux
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51(4): 1290-1313 (November 2015). DOI: 10.1214/14-AIHP621

Abstract

We consider a discrete model of population dynamics with interaction between individuals, where the birth and death rates are nonlinear functions of the population size. We obtain the large population limit of a renormalization of our model as the solution of the SDE

\[Z^{x}_{t}=x+\int_{0}^{t}f(Z^{x}_{s})\,\mathrm{d}s+2\int_{0}^{t}\int_{0}^{Z^{x}_{s}}W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u),\] where $W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u)$ is a time space white noise on $[0,\infty)^{2}$.

We give a Ray–Knight representation of this diffusion in terms of the local times of a reflected Brownian motion $H$ with a drift that depends upon the local time accumulated by $H$ at its current level, through the function $f'/2$.

Nous considérons un modèle d’évolution d’une population avec interaction entre les individus, où les taux de naissance et de mort sont fonction de la taille de la population. Nous obtenons la limite en grande population après renormalisation, qui est solution de l’EDS

\[Z^{x}_{t}=x+\int_{0}^{t}f(Z^{x}_{s})\,\mathrm{d}s+2\int_{0}^{t}\int_{0}^{Z^{x}_{s}}W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u),\] où $W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u)$ est un bruit blanc sur $[0,\infty)^{2}$.

Nous donnons une représentation de cette diffusion à la Ray–Knight, en fonction des temps locaux d’un mouvement brownien réfléchi $H$ avec une dérive qui dépend du temps local accumulé par $H$ à son niveau courant, à travers la fonction $f'/2$.

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Mamadou Ba. Etienne Pardoux. "Branching processes with interaction and a generalized Ray–Knight Theorem." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51 (4) 1290 - 1313, November 2015. https://doi.org/10.1214/14-AIHP621

Information

Received: 3 April 2013; Revised: 22 April 2014; Accepted: 22 April 2014; Published: November 2015
First available in Project Euclid: 21 October 2015

zbMATH: 1329.60298
MathSciNet: MR3414448
Digital Object Identifier: 10.1214/14-AIHP621

Subjects:
Primary: 60F17, 60J80
Secondary: 92D25

Rights: Copyright © 2015 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
24 PAGES


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Vol.51 • No. 4 • November 2015
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