Abstract
We establish an exact asymptotic formula for the square variation of certain partial sum processes. Let $\{X_{i}\}$ be a sequence of independent, identically distributed mean zero random variables with finite variance $\sigma^{2}$ and satisfying a moment condition $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ for some $\delta>0$. If we let $\mathcal{P}_{N}$ denote the set of all possible partitions of the interval $[N]$ into subintervals, then we have that $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$ holds almost surely. This can be viewed as a variational strengthening of the law of the iterated logarithm and refines results of J. Qian on partial sum and empirical processes. When $\delta=0$, we obtain a weaker ‘in probability’ version of the result.
Nous établissons une formule asymptotique exacte pour la variation quadratique de certains processus de sommes partielles. Soit $\{X_{i}\}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulle et de variance finie $\sigma^{2}$ satisfaisant une condition de moments $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ pour un $\delta>0$. Soit $\mathcal{P}_{N}$ l’ensemble de toutes les partitions possibles de l’intervalle $[N]$ en sous-intervalles, alors nous montrons que presque sûrement $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$. Ceci peut être interprété comme une amélioration de la loi du logarithme itéré et précise les résultats de J. Qian sur les sommes partielles et les processus empiriques. Quand $\delta=0$, nous obtenons une version plus faible, en probabilité, de ce résultat.
Citation
Allison Lewko. Mark Lewko. "An exact asymptotic for the square variation of partial sum processes." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 51 (4) 1597 - 1619, November 2015. https://doi.org/10.1214/14-AIHP617
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