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November 2014 Spectral condition, hitting times and Nash inequality
Eva Löcherbach, Oleg Loukianov, Dasha Loukianova
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 50(4): 1213-1230 (November 2014). DOI: 10.1214/13-AIHP560

Abstract

Let $X$ be a $\mu$-symmetric Hunt process on a LCCB space $\mathtt{E}$. For an open set $\mathtt{G}\subseteq\mathtt{E}$, let $\tau_{\mathtt{G}}$ be the exit time of $X$ from $\mathtt{G}$ and $A^{\mathtt{G}}$ be the generator of the process killed when it leaves $\mathtt{G}$. Let $r:[0,\infty[\,\to[0,\infty[$ and $R(t)=\int_{0}^{t}r(s)\,\mathrm{d} s$.

We give necessary and sufficient conditions for $\mathbb{E}_{\mu}R(\tau_{\mathtt{G}})<\infty$ in terms of the behavior near the origin of the spectral measure of $-A^{\mathtt{G}}$. When $r(t)=t^{l}$, $l\geq0$, by means of this condition we derive the Nash inequality for the killed process.

In the diffusion case this permits to show that the existence of moments of order $l+1$ for $\tau_{\mathtt{G}}$ implies the Nash inequality of order $p=\frac{l+2}{l+1}$ for the whole process. The associated rate of convergence of the semi-group in $\mathbb{L}^{2}(\mu)$ is bounded by $t^{-(l+1)}$.

Finally, we show for general Hunt processes that the Nash inequality giving rise to a convergence rate of order $t^{-(l+1)}$ of the semi-group implies the existence of moments of order $l+1-\varepsilon$ for $\tau_{\mathtt{G}}$, for all $\varepsilon>0$.

Soit $X$ un processus de Hunt $\mu$-symétrique à valeurs dans un espace LCCB $\mathtt{E}$. Pour un ouvert $\mathtt{G}\subseteq\mathtt{E}$, soit $\tau_{\mathtt{G}}$ le temps de sortie de $\mathtt{G}$ par $X$ et $A^{\mathtt{G}}$ le générateur du processus tué lorsqu’il quitte $\mathtt{G}$. Soit $r:[0,\infty[\,\to[0,\infty[$ et $R(t)=\int_{0}^{t}r(s)\,\mathrm{d} s$.

Nous établissons des conditions nécéssaires et suffisantes pour que $\mathbb{E}_{\mu}R(\tau_{\mathtt{G}})<\infty$. Ces conditions sont données en termes du comportement au voisinage de zéro de la mesure spectrale de $-A^{\mathtt{G}}$ Dans le cas ou $r(t)=t^{l}$, $l\geq0$, en utilisant ces conditions, à partir de $\mathbb{E}_{\mu}R(\tau_{\mathtt{G}})<\infty$ nous déduisons l’inégalité de Nash pour le processes tué.

Dans le cas d’un processus de diffusion cela permet de montrer que l’existence des moments d’ordre $l+1$ pour $\tau_{\mathtt{G}}$ implique l’inégalité de Nash d’ordre $p=\frac{l+2}{l+1}$ pour le processus $X$. La vitesse de convergence du semi-groupe dans $\mathbb{L}^{2}(\mu)$ est donnée par $t^{-(l+1)}$.

Finalement pour un processus de Hunt $\mu$-symétrique à valeurs dans un espace LCCB nous montrons que l’inégalité de Nash donnant lieu à la convergence du semi-groupe avec la vitesse $t^{-(l+1)}$ implique l’existence des moments d’ordre $l+1-\varepsilon$ pour $\tau_{\mathtt{G}}$, pour tout $\varepsilon>0$.

Citation

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Eva Löcherbach. Oleg Loukianov. Dasha Loukianova. "Spectral condition, hitting times and Nash inequality." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 50 (4) 1213 - 1230, November 2014. https://doi.org/10.1214/13-AIHP560

Information

Published: November 2014
First available in Project Euclid: 17 October 2014

zbMATH: 1322.60154
MathSciNet: MR3269992
Digital Object Identifier: 10.1214/13-AIHP560

Subjects:
Primary: 60J25, 60J35, 60J60

Rights: Copyright © 2014 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
18 PAGES


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Vol.50 • No. 4 • November 2014
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