The critical barrier for the survival of branching random walk with absorption

Abstract

We study a branching random walk on $\mathbb{R}$ with an absorbing barrier. The position of the barrier depends on the generation. In each generation, only the individuals born below the barrier survive and reproduce. Given a reproduction law, Biggins et al. [Ann. Appl. Probab. 1 (1991) 573–581] determined whether a linear barrier allows the process to survive. In this paper, we refine their result: in the boundary case in which the speed of the barrier matches the speed of the minimal position of a particle in a given generation, we add a second order term $an^{1/3}$ to the position of the barrier for the $n$th generation and find an explicit critical value $a_{c}$ such that the process dies when $a<a_{c}$ and survives when $a>a_{c}$. We also obtain the rate of extinction when $a<a_{c}$ and a lower bound for the population when it survives.

Nous étudions une marche aléatoire branchante sur $\mathbb{R}$ avec une barrière absorbante. La position de la barrière dépend de la génération. À chaque génération, seuls les individus nés sous la barrière survivent et se reproduisent. Étant donnée une loi de reproduction, Biggins et al. [Ann. Appl. Probab. 1 (1991) 573–581] ont déterminé, pour une barrière linéaire, si le processus survit ou s’éteint. Dans cet article, nous affinons ce résultat : dans le cas frontière où la vitesse de la barrière correspond à la vitesse de la particule la plus à gauche d’une génération donnée, nous allons à l’ordre suivant en ajoutant un terme $an^{1/3}$ à la position de la barrière pour la $n$ième génération et obtenons une valeur critique explicite $a_{c}$ telle que le processus s’éteint quand $a<a_{c}$ et survit quand $a>a_{c}$. Nous obtenons aussi le taux d’extinction lorsque $a<a_{c}$ et une borne inférieure sur la taille de la population lorsqu’il survit.