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November 2012 Superdiffusivity for Brownian Motion in a Poissonian potential with long range correlation I: Lower bound on the volume exponent
Hubert Lacoin
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48(4): 1010-1028 (November 2012). DOI: 10.1214/11-AIHP467

Abstract

We study trajectories of $d$-dimensional Brownian Motion in Poissonian potential up to the hitting time of a distant hyper-plane. Our Poissonian potential $V$ is constructed from a field of traps whose centers location is given by a Poisson Point Process and whose radii are IID distributed with a common distribution that has unbounded support; it has the particularity of having long-range correlation. We focus on the case where the law of the trap radii $\nu$ has power-law decay and prove that superdiffusivity hold under certain condition, and get a lower bound on the volume exponent. Results differ quite much with the one that have been obtained for the model with traps of bounded radii by Wühtrich (Ann. Probab. 26 (1998) 1000–1015, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 34 (1998) 279–308): the superdiffusivity phenomenon is enhanced by the presence of correlation.

Dans cet article, nous étudions les trajectoires d’un mouvement brownien dans $\mathbb{R}^{d}$ évoluant dans un potentiel poissonien jusqu’au temps d’atteinte d’un hyper-plan situé loin de l’origine. Le potentiel poissonien $V$ que nous considerons est construit à partir d’un champs de pièges dont les centres sont déterminés par un processus de Poisson et dont les rayons sont des variables aléatoires IID. Nous concentrons notre étude sur le cas particulier ou la loi des rayons des pièges à une queue polynomiale et nous prouvons que les trajectoires ont un caractère surdiffusif quand certaines conditions sont vérifées et nous donnons une borne inférieure pour l’exposant de volume. Les résultats sont sensiblement différents de ceux obtenus dans le cas ou les pièges sont à rayon bornés par Wühtrich (Ann. Probab. 26 (1998) 1000–1015, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 34 (1998) 279–308) : le phénomène de surdiffusivité est renforcé par la présence de corrélations.

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Hubert Lacoin. "Superdiffusivity for Brownian Motion in a Poissonian potential with long range correlation I: Lower bound on the volume exponent." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48 (4) 1010 - 1028, November 2012. https://doi.org/10.1214/11-AIHP467

Information

Published: November 2012
First available in Project Euclid: 16 November 2012

zbMATH: 1267.82146
MathSciNet: MR3052458
Digital Object Identifier: 10.1214/11-AIHP467

Subjects:
Primary: 60K37, 82B44, 82D60

Rights: Copyright © 2012 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
19 PAGES


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Vol.48 • No. 4 • November 2012
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