Stationary distributions for jump processes with memory

Abstract

We analyze a jump processes $Z$ with a jump measure determined by a “memory” process $S$. The state space of $(Z,S)$ is the Cartesian product of the unit circle and the real line. We prove that the stationary distribution of $(Z,S)$ is the product of the uniform probability measure and a Gaussian distribution.

Nous proposons d’étudier un processus à sauts $Z$ avec une mesure de sauts déterminée par un processus $S$ représentant une “mémoire”. L’espace d’états de $(Z,S)$ est le produit Cartesien du cercle trigonométrique et de l’axe réel. Nous démontrons que la distribution stationnaire de $(Z,S)$ est la mesure produit d’une loi uniforme et d’une loi Gaussienne.