Polynomial bounds in the Ergodic theorem for one-dimensional diffusions and integrability of hitting times

Abstract

Let X be a one-dimensional positive recurrent diffusion with initial distribution ν and invariant probability μ. Suppose that for some p>1, ∃a∈ℝ such that ∀x∈ℝ, $\mathbb{E}_{x}T_{a}^{p}\symbol{60}\infty$ and $\mathbb{E}_{\nu}T_{a}^{p/2}\symbol{60}\infty$, where T_a is the hitting time of a. For such a diffusion, we derive non-asymptotic deviation bounds of the form

ℙ_ν(|(1/t)∫₀^tf(X_s) ds−μ(f)|≥ε)≤K(p)(1/t^p/2)(1/ε^p)A(f)^p.

Here f bounded or bounded and compactly supported and A(f)=‖f‖_∞ when f is bounded and A(f)=μ(|f|) when f is bounded and compactly supported.

We also give, under some conditions on the coefficients of X, a polynomial control of $\mathbb{E}_{x}T_{a}^{p}$ from above and below. This control is based on a generalized Kac’s formula (see Theorem 4.1) for the moments $\mathbb{E}_{x}f(T_{a})$ of a differentiable function f.

Considérons une diffusion récurrente positive avec loi initiale ν et probabilité invariante μ. Pour tout a∈ℝ, soit T_a le temps d’atteinte du point a. Supposons qu’il existe p>1 et un point a∈ℝ tels que pour tout x∈ℝ, $\mathbb{E}_{x}T_{a}^{p}\symbol{60}\infty$ et $\mathbb{E}_{\nu}T_{a}^{p/2}\symbol{60}\infty$. Alors nous obtenons l’inégalité de déviation non-asymptotique suivante:

ℙ_ν(|(1/t)∫₀^tf(X_s) ds−μ(f)|≥ε)≤K(p)(1/t^p/2)(1/ε^p)A(f)^p,

où f est une fonction bornée ou une fonction bornée à support compact. Ici, A(f)=‖f‖_∞ dans le cas d’une fonction bornée et A(f)=μ(|f|) dans le cas d’une fonction bornée à support compact.

De plus, sous certaines conditions sur les coefficients de la diffusion, nous obtenons une minoration et majoration, polynomiale en x, de $\mathbb{E}_{x}T_{a}^{p}$. Ce résultat est basé sur une formule de Kac généralisée (voir théoréme 4.1) pour les moments $\mathbb{E}_{x}f(T_{a})$ où f est une fonction dérivable.