Hiding a constant drift

Abstract

The following question is due to Marc Yor: Let B be a Brownian motion and S_t=t+B_t. Can we define an $\mathcal{F}^{B}$-predictable process H such that the resulting stochastic integral (H⋅S) is a Brownian motion (without drift) in its own filtration, i.e. an $\mathcal{F}^{(H\cdot S)}$-Brownian motion?

In this paper we show that by dropping the requirement of $\mathcal{F}^{B}$-predictability of H we can give a positive answer to this question. In other words, we are able to show that there is a weak solution to Yor’s question. The original question, i.e., existence of a strong solution, remains open.

La question suivante a été posée par Marc Yor: Soit B un mouvement Brownien et S_t=t+B_t. Peut-on définir un processus H qui est $\mathcal{F}^{B}$-prévisible tel que l’intégrale stochastique (H⋅S) soit un mouvement Brownien (sans drift) pour sa propre filtration $\mathcal{F}^{(H\cdot S)}$?

Dans cet article nous fournissons une réponse affirmative en relâchant la condition que H soit $\mathcal{F}^{B}$-prévisible. Autrement dit, nous montrons qu’il existe une solution faible pour cette question de Yor. La question originale (c’est à dire, l’existence d’une solution forte) reste ouverte.