An integral test for the transience of a Brownian path with limited local time

Abstract

We study a one-dimensional Brownian motion conditioned on a self-repelling behaviour. Given a nondecreasing positive function f(t), t≥0, consider the measures μ_t obtained by conditioning a Brownian path so that L_s≤f(s), for all s≤t, where L_s is the local time spent at the origin by time s. It is shown that the measures μ_t are tight, and that any weak limit of μ_t as t→∞ is transient provided that t^−3/2f(t) is integrable. We conjecture that this condition is sharp and present a number of open problems.

Etant donnée une fonction croîssante f(t), t≥0, considérons la mesure μ_t obtenue lorsqu’on on conditionne un mouvement brownien de sorte que L_s≤f(s), pour tout s≤t, où L_s est le temps local accumulé au temps s à l’origine. Nous montrons que les mesures μ_t sont tendues, et que toute limite faible de μ_t lorsque t→∞ est la loi d’un processus transient si t^−3/2f(t) est intégrable. Nous conjecturons que cette condition est également nécessaire pour la transience et proposons un certain nombre de questions ouvertes.