Maximal Brownian motions

Abstract

Let Z=(X, Y) be a planar Brownian motion, $\mathcal{Z}$ the filtration it generates, and B a linear Brownian motion in the filtration $\mathcal{Z}$. One says that B (or its filtration) is maximal if no other linear $\mathcal{Z}$-Brownian motion has a filtration strictly bigger than that of B. For instance, it is shown in [In Séminaire de Probabilités XLI 265–278 (2008) Springer] that B is maximal if there exists a linear Brownian motion C independent of B and such that the planar Brownian motion (B, C) generates the same filtration $\mathcal{Z}$ as Z. We do not know if this sufficient condition for maximality is also necessary.

We give a necessary condition for B to be maximal, and a sufficient condition which may be weaker than the existence of such a C. This sufficient condition is used to prove that the linear Brownian motion ∫(X dY−Y dX)/|Z|, which governs the angular part of Z, is maximal.

Soient Z=(X, Y) un mouvement brownien plan de filtration naturelle $\mathcal{Z}$, et B un mouvement brownien linéaire de la filtration $\mathcal{Z}$. On dit que B est maximal, et que la filtration naturelle de B est maximale, lorsqu’aucun autre mouvement brownien linéaire de $\mathcal{Z}$ n’engendre une filtration strictement plus grosse que celle de B. Il est par exemple établi dans [In Séminaire de Probabilités XLI 265–278 (2008) Springer] que B est maximal dès qu’il existe dans $\mathcal{Z}$ un mouvement brownien linéaire C indépendant de B et tel que le mouvement brownien plan (B, C) engendre toute la filtration $\mathcal{Z}$; nous ne savons pas si cette condition suffisante de maximalité est aussi nécessaire.

Nous donnons une conditions nécessaire de maximalité, ainsi qu’une condition suffisante peut-être plus faible que l’existence d’un tel C. À l’aide de cette condition suffisante, nous démontrons que le mouvement brownien linéaire ∫(X dY−Y dX)/|Z|, qui régit la partie angulaire de Z, est maximal.