Spectral gap and convex concentration inequalities for birth–death processes

Abstract

In this paper, we consider a birth–death process with generator $\mathcal{L}$ and reversible invariant probability π. Given an increasing function ρ and the associated Lipschitz norm ‖⋅‖_Lip(ρ), we find an explicit formula for $\|(-\mathcal{L})^{-1}\|_{\operatorname {Lip}(\rho)}$. As a typical application, with spectral theory, we revisit one variational formula of M. F. Chen for the spectral gap of $\mathcal{L}$ in L²(π). Moreover, by Lyons–Zheng’s forward-backward martingale decomposition theorem, we get convex concentration inequalities for additive functionals of birth–death processes.

Dans ce travail, nous considérons un processus de naissance et de mort de générateur $\mathcal{L}$ et de probabilité invariante réversible π. Étant données une fonction strictement croissante ρ, et la norme lipschitzienne ‖⋅‖_Lip(ρ) par rapport à ρ, nous trouvons une représentation explicite de $\|(-\mathcal{L})^{-1}\|_{\operatorname{Lip}(\rho)}$. En guise d’une application typique, nous retrouvons une formule variationnelle de M. F. Chen pour le trou spectral de $\mathcal{L}$ dans L²(π). De plus, par la décomposition des martingales progressive-rétrogrades de Lyons–Zheng, nous obtenons des inégalités de concentration convexe pour des fonctionnelles additives de processus de naissance et de mort.