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December 2008 Quasi-compactness and mean ergodicity for Markov kernels acting on weighted supremum normed spaces
Loïc Hervé
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44(6): 1090-1095 (December 2008). DOI: 10.1214/07-AIHP145


Let P be a Markov kernel on a measurable space E with countably generated σ-algebra, let w:E→[1, +∞[ such that PwCw with C≥0, and let $\mathcal {B}_{w}$ be the space of measurable functions on E satisfying ‖fw=sup{w(x)−1|f(x)|, xE}<+∞. We prove that P is quasi-compact on $(\mathcal {B}_{w},\|\cdot\|_{w})$ if and only if, for all $f\in \mathcal {B}_{w}$, $(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P^{k}f)_{n}$ contains a subsequence converging in $\mathcal {B}_{w}$ to Πf=∑di=1μi(f)vi, where the vi’s are non-negative bounded measurable functions on E and the μi’s are probability distributions on E. In particular, when the space of P-invariant functions in $\mathcal {B}_{w}$ is finite-dimensional, uniform ergodicity is equivalent to mean ergodicity.

Soit P un noyau markovien sur un espace mesurable E muni d’une tribu à base dénombrable, soit w:E→[1, +∞[ tel que PwCw, avec C≥0, et soit $\mathcal {B}_{w}$ l’espace des fonctions f mesurables de E dans ℂ telles que ‖fw=sup{w(x)−1|f(x)|, xE}<+∞. Nous démontrons que P est quasi-compact sur $(\mathcal {B}_{w},\|\cdot\|_{w})$ si et seulement si, pour tout $f\in \mathcal {B}_{w}$, $(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P^{k}f)_{n}$ contient une sous-suite convergeant dans $\mathcal {B}_{w}$ vers Πf=∑di=1μi(f)vi, où vi est une fonction mesurable positive bornée sur E et μi une probabilité sur E. En particulier, quand le sous-espace de $\mathcal {B}_{w}$ constitué des fonctions P-invariantes est de dimension finie, la convergence uniforme des moyennes est équivalente à la convergence ponctuelle.


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Loïc Hervé. "Quasi-compactness and mean ergodicity for Markov kernels acting on weighted supremum normed spaces." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 44 (6) 1090 - 1095, December 2008.


Published: December 2008
First available in Project Euclid: 21 November 2008

zbMATH: 1186.37014
MathSciNet: MR2469336
Digital Object Identifier: 10.1214/07-AIHP145

Primary: 37A30 , 60J10

Keywords: Geometrical ergodicity , Markov kernel , Mean ergodicity , Quasi-compactness

Rights: Copyright © 2008 Institut Henri Poincaré


Vol.44 • No. 6 • December 2008
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