Monoïde des enlacements et facteurs orthogonaux

Abstract

A linking pairing is a symetric bilinear pairing $\lambda :G\times G\to \mathbb{Q}∕\mathbb{Z}$ on a finite abelian group. The set of isomorphism classes of linking pairings is a non-cancellative monoid $\mathfrak{E}$ under orthogonal sum, which is infinitely generated and infinitely related. We propose a new presentation of $\mathfrak{E}$ that enables one to detect whether a linking pairing has a given orthogonal summand. The same method extends to the monoid $\mathfrak{Q}$ of quadratic forms on finite abelian groups. We obtain a combinatorial classification of $\mathfrak{Q}$ (that was previously known for groups of period $4$).

As applications, we describe explicitly $3$–manifolds having a degree one map onto prescribed (or proscribed) lens spaces. Most of the results extend to $3$–manifolds endowed with a parallelization or a spin structure. In particular, the Reidemeister–Turaev function detects the existence of a spin preserving degree one map between a rational homology $3$–sphere and a lens space.

R é sum é

Un enlacement est une forme bilinéaire symétrique $\lambda :G\times G\to \mathbb{Q}∕\mathbb{Z}$ sur un groupe abélien fini. L’ensemble des classes d’isomorphismes d’enlacements forme un monoïde $\mathfrak{E}$, pour la somme orthogonale, à un nombre infini de générateurs et de relations, sans simplification. Nous proposons une nouvelle présentation de $\mathfrak{E}$ qui permet de reconnaître si un enlacement possède un facteur orthogonal donné. La même méthode se généralise au monoïde $\mathfrak{Q}$ des formes quadratiques sur les groupes abéliens finis. Nous obtenons ainsi une classification combinatoire de $\mathfrak{Q}$, classification qui n’était précédemment connue que pour les groupes de période $4$.

Comme application, nous décrivons explicitement les 3–variétés admettant une application de degré un sur des lenticulaires prescrits (ou proscrits). La plupart des résultats se généralisent aux 3–variétés munies d’une parallélisation ou d’une structure spinorielle. En particulier, la fonction de Reidemeister–Turaev distingue l’existence ou non d’une application de degré un préservant les structures spinorielles entre une 3–sphère d’homologie rationnelle et un lenticulaire.