L'espace des sous-groupes fermés de $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$

Abstract

The space of closed subgroups of a locally compact topological group is endowed with a natural topology, called the Chabauty topology. We completely describe the space of closed subgroups of the group $ℝ\times \mathbb{Z}$ (and of its dual ${ℂ}^{\times }$), which is highly nontrivial : for example, its fundamental group contains the fundamental group of the Hawaiian earrings, hence is uncountable.

L’espace des sous-groupes fermés d’un groupe topologique localement compact est muni d’une topologie naturelle, appelée topologie de Chabauty. Nous décrivons complètement l’espace des sous-groupes fermés du groupe $ℝ\times \mathbb{Z}$ (et de son dual ${ℂ}^{\times }$), lequel est hautement non trivial : par exemple, son groupe fondamental contient le groupe fondamental des anneaux Hawaïens, et est donc non dénombrable.