Calculabilité de la cohomologie étale modulo $\ell$

Abstract

Soient $X$ un schéma algébrique sur un corps algébriquement clos et $\ell$ un nombre premier inversible sur $X$. D’après le théorème 1.1 de (SGA $4\frac{1}{2}$, Th. finitude), les groupes de cohomologie étale $H^i\left(X,\mathbb{Z}∕\ell \mathbb{Z}\right)$ sont de dimension finie. Utilisant une variante $\ell$-adique des bons voisinages d’Artin et des résultats élémentaires sur la cohomologie des pro-$\ell$ groupes, on exprime la cohomologie de $X$ comme colimite bien contrôlée de celle de topos construits sur des $BG$, où les $G$ sont des $\ell$-groupes finis calculables. On en déduit que les nombres de Betti modulo $\ell$ de $X$ sont algorithmiquement calculables (au sens de Church–Turing). La première partie du texte est consacrée à la démonstration de ce fait et de quelques compléments naturels. Elle s’appuie sur les outils de la seconde partie, dédiée à la géométrie algébrique effective.

Let $X$ be an algebraic scheme over an algebraically closed field and $\ell$ a prime number invertible on $X$. According to Theorem 1.1 of (SGA $4\frac{1}{2}$, Th. finitude), the étale cohomology groups $H^i\left(X,\mathbb{Z}∕\ell \mathbb{Z}\right)$ are finite-dimensional. Using an $\ell$-adic variant of Artin’s good neighborhoods and elementary results on the cohomology of pro-$\ell$ groups, we express the cohomology of $X$ as a well controlled colimit of that of toposes constructed on $BG$ where the $G$ are computable finite $\ell$-groups. From this, we deduce that the Betti numbers modulo $\ell$ of $X$ are algorithmically computable (in the sense of Church and Turing). The proof of this fact, along with certain related results, occupies the first part of this paper. This relies on the tools collected in the second part, which deals with computational algebraic geometry.