Induction parabolique et $(\varphi,\Gamma)$-modules

Abstract

Soit $L$ une extension finie de ${\mathbb{Q}}_p$ et $B$ un sous-groupe de Borel d’un groupe réductif déployé connexe $G$ sur $L$ de centre connexe. On définit un foncteur contravariant et exact à droite de la catégorie des représentations lisses de $B\left(L\right)$ sur $\mathbb{Z}∕p^m\mathbb{Z}$ vers la catégorie des limites projectives de $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules étales (pour $Gal\left({\overline{\mathbb{Q}}}_p∕{\mathbb{Q}}_p\right)$) sur $\mathbb{Z}∕p^m\mathbb{Z}$. On montre que ce foncteur est insensible à l’induction parabolique et que, restreint aux représentations de longueur finie dont les constituants sont des sous-quotients de séries principales, il est exact et donne de “vrais” $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules. Par passage à la limite projective, on en déduit que, convenablement normalisé, il envoie la $G\left({\mathbb{Q}}_p\right)$-représentation $\Pi {\left(\rho \right)}^{ord}$ de Breuil et Herzig (Duke Math. J. 164:7 (2015), 1271–1352) vers le $\left(\phi ,\Gamma \right)$-module de la représentation ${\left(L^{\otimes }{|}_{{\hat{B}}_{C_{\rho }}}\right)}^{ord}\circ \rho$ de $Gal\left({\overline{\mathbb{Q}}}_p∕{\mathbb{Q}}_p\right)$, reliant ainsi les deux constructions de loc. cit.

Let $L$ be a finite extension of ${\mathbb{Q}}_p$ and $B$ a Borel subgroup of a split reductive connected algebraic group $G$ over $L$ with a connected center. We define a right exact contravariant functor from the category of smooth representations of $B\left(L\right)$ over $\mathbb{Z}∕p^m\mathbb{Z}$ to the category of projective limits of étale $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules (for $Gal\left({\overline{\mathbb{Q}}}_p∕{\mathbb{Q}}_p\right)$) over $\mathbb{Z}∕p^m\mathbb{Z}$. We show that this functor is insensitive to parabolic induction and that, when restricted to finite length representations with all constituents being subquotients of principal series, it is exact and yields “genuine” $\left(\phi ,\Gamma \right)$-modules. By a projective limit process, we deduce that, conveniently normalized, it sends the $G\left({\mathbb{Q}}_p\right)$-representation $\Pi {\left(\rho \right)}^{ord}$ of Breuil and Herzig (Duke Math. J. 164:7 (2015), 1271–1352) to the $\left(\phi ,\Gamma \right)$-module of the representation ${\left(L^{\otimes }{|}_{{\hat{B}}_{C_{\rho }}}\right)}^{ord}\circ \rho$ of $Gal\left({\overline{\mathbb{Q}}}_p∕{\mathbb{Q}}_p\right)$, thus connecting the two constructions of loc. cit.