Complétés universels de représentations de $\mathrm{GL}_2({\mathbb Q}_p)$

Abstract

Soit $\Pi$ une représentation unitaire de ${GL}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$, topologiquement de longueur finie. Nous décrivons la sous-représentation ${\Pi }^{an}$ de ses vecteurs localement analytiques, et sa filtration par rayon d’analyticité, en termes du $\left(\phi ,\Gamma \right)$-module qui lui est associé via la correspondance de Langlands locale $p$-adique, et nous en déduisons que le complété universel de ${\Pi }^{an}$ n’est autre que $\Pi$.

Let $\Pi$ be a unitary representation of ${GL}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$, topologically of finite length. We describe the subrepresentation ${\Pi }^{an}$ made of its locally analytic vectors, and its filtration by radius of analyticity, in terms of the $\left(\phi ,\Gamma \right)$-module attached to $\Pi$ via the $p$-adic local Langlands correspondence, and we deduce that the universal completion of ${\Pi }^{an}$ is $\Pi$ itself.