Torsion des modules de Drinfeld de rang 2 et formes modulaires de Drinfeld

Abstract

On donne des résultats de non-existence pour les points rationnels de la courbe modulaire de Drinfeld affine $Y_1\left(\mathfrak{p}\right)$ avec $\mathfrak{p}$ idéal premier de ${\mathbb{F}}_q\left[T\right]$. Cette courbe classifie les modules de Drinfeld de rang $2$ munis d’un point de torsion d’ordre $\mathfrak{p}$. Le premier énoncé concerne les points définis sur les extensions de ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ quadratiques pour $\mathfrak{p}$ de degré $3$ et cubiques pour $\mathfrak{p}$ de degré $4$ et $q\ge 7$. Le deuxième, conditionné à une dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires de Drinfeld, concerne les points sur les extensions de degré $\le q$ pour $deg\mathfrak{p}$ suffisamment grand. Comme conséquence, on déduit, sous la même condition, une borne uniforme pour la torsion des modules de Drinfeld de rang $2$ définis sur les extensions de ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ de degré $\le q$, prédite par Poonen.

We give nonexistence results for rational points on the affine Drinfeld modular curve $Y_1\left(\mathfrak{p}\right)$ with $\mathfrak{p}$ a prime ideal of ${\mathbb{F}}_q\left[T\right]$. This curve classifies Drinfeld modules of rank $2$ with a torsion point of order $\mathfrak{p}$. The first statement concerns points defined over quadratic extensions of ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ for $\mathfrak{p}$ of degree $3$ and cubic extensions of ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ for $\mathfrak{p}$ of degree $4$ and $q\ge 7$. The second statement is valid under a duality condition between Hecke algebra and Drinfeld modular forms, and concerns points over extensions of degree $\le q$ whenever $deg\mathfrak{p}$ is sufficiently large. As a consequence we derive, under the same condition, a uniform bound for the torsion of rank-$2$ Drinfeld modules defined over extensions of ${\mathbb{F}}_q\left(T\right)$ of degree $\le q$, as predicted by Poonen.