Arguments des unités de Stark et périodes de séries d'Eisenstein

Abstract

Cet article décrit une construction conjecturale (dans l’esprit du $12$ème problème de Hilbert) d’unités dans des extensions abéliennes de certains corps de base qui ne sont ni totalement réels ni de type CM. Ces corps de base possèdent un unique plongement complexe, et sont des extensions quadratiques d’un corps totalement réel $F$. On les appelle corps ATR («almost totally real»). Notre construction fait intervenir certains cycles topologiques homologiquement triviaux sur la variété modulaire de Hilbert associée à $F$. Les unités spéciales sont les images de ces cycles par une application qui repose sur l’intégration des séries d’Eisenstein de poids deux sur ${GL}_2\left(F\right)$, et peut être vue comme un analogue formel des applications d’Abel–Jacobi de la théorie des cycles algébriques. On démontre que notre conjecture est compatible avec la conjecture de Stark pour les extensions ATR. Elle donne même un raffinement de la conjecture de Stark dans ce contexte, puisqu’elle fournit une formule analytique pour les arguments des unités de Stark, et pas seulement pour leurs valeurs absolues. La dernière section présente des résultats d’expériences numériques qui appuient notre conjecture.

We describe a conjectural construction (in the spirit of Hilbert’s Twelfth problem) of units in abelian extensions of certain base fields which are neither totally real nor CM. These base fields are quadratic extensions with exactly one complex place of a totally real number field $F$, and are referred to as almost totally real (ATR) extensions. Our construction involves certain null-homologous topological cycles on the Hilbert modular variety attached to $F$. The special units are the images of these cycles under a map defined by integration of weight two Eisenstein series on ${GL}_2\left(F\right)$. This map is formally analogous to the higher Abel–Jacobi maps that arise in the theory of algebraic cycles. We show that our conjecture is compatible with Stark’s conjecture for ATR extensions ; it is, however, a genuine strengthening of Stark’s conjecture in this context since it gives an analytic formula for the arguments of the Stark units and not just their absolute values. The last section provides numerical evidence for our conjectures.