Sous-groupe de Brauer invariant et obstruction de descente itérée

Abstract

Pour une variété quasi-projective, lisse, géométriquement intègre sur un corps de nombres $k$, on montre que l’obstruction de descente itérée est équivalente à l’obstruction de descente. Ceci généralise un résultat de Skorobogatov, et ceci répond à une question ouverte de Poonen. Les outils principaux sont la notion de sous-groupe de Brauer invariant et la notion d’obstruction de Brauer–Manin étale invariante pour une $k$-variété munie d’une action d’un groupe linéaire connexe.

For a quasi-projective smooth geometrically integral variety over a number field $k$, we prove that the iterated descent obstruction is equivalent to the descent obstruction. This generalizes a result of Skorobogatov, and this answers an open question of Poonen. Our main tools are the notion of invariant Brauer subgroup and the notion of invariant étale Brauer–Manin obstruction for a $k$-variety equipped with an action of a connected linear algebraic group.