Nouvelles cohomologies de Weil en caractéristique positive

Abstract

Soit $K$ un corps valué de hauteur $1$ et d’inégales caractéristiques $\left(0,p\right)$, et soit $k$ son corps résiduel. Dans cet article, nous construisons une nouvelle cohomologie de Weil pour les $k$-schémas de type fini à valeurs dans les $A_K$-modules, avec $A_K$ une $K$-algèbre de « périodes abstraites $p$-adiques » qui admet une description explicite par générateurs et relations. Nous démontrons des théorèmes de comparaison reliant cette nouvelle cohomologie de Weil aux cohomologies de Weil classiques : la cohomologie rigide de Berthelot et les cohomologies $\ell$-adiques, pour $\ell \ne p$. Nous énonçons également des conjectures sur l’anneau $A_K$ dont l’une d’elles entraîne l’indépendance de $\ell$ en cohomologie.

Let $K$ be a valued field of height $1$ and unequal characteristics $\left(0,p\right)$, and let $k$ be its residue field. In this article, we construct a new Weil cohomology for finite type $k$-schemes with values in $A_K$-modules, where $A_K$ is a $K$-algebra of “$p$-adic abstract periods” admitting an explicit description by generators and relations. We establish comparison theorems relating this new Weil cohomology to the classical ones: Berthelot’s rigid cohomology and the $\ell$-adic cohomologies, for $\ell \ne p$. We also state some conjectures on the ring $A_K$. One of these conjectures implies the independence of $\ell$ in cohomology.