Simultaneous Joint Lower and Upper record values Probability Laws for Absolutely Continuous or Discrete Data

Abstract

This paper investigates the probability density function (pdf) of the \((2n-1)\)-vector \((n\geq 1)\) of both lower and upper record values for a sequence of independent random variables with common pdf \(f\) defined on the same probability space, provided that the lower and upper record times are finite up to \(n\). A lot is known about the lower or the upper record values when they are studied separately. When put together, the challenges are far complicated. The rare results in the literature still present some flaws. This paper begins a new and complete investigation with a few number of records: \(n=2\) and \(n=3\). Lessons from these simple cases will allow addressing the general formulation of simultaneous joint lower-upper records.

Cet article étudie la fonction de densité de probabilité du vecteur de dimension \((2n+1)\), \((n \geq 1)\), des records inférieurs et supérieurs, en valeurs et temps de réalisation d'une suite de variables aléatoires indépendantes, définies sur le même espace de probabilité, ayant une pdf commune \(f\) et à condition que les temps des records soient finis à l'instant $n$. Les lois des records sont bien connues lorsqu'elles sont étudiées séparément, les records inférieurs ou les records supérieurs. Cependant, l'étude des lois jointes des records (inférieurs et supérieurs à la fois) est bien plus compliquée. Les rares résultats de la littérature présentent encore encore imparfaits. Ce document commence une nouvelle investigation des lois conjointes des valeurs records et des temps de records au nombre de \(n=2\) et \(n=3\). Les leçons tirées de ces cas simples permettront d'aborder la formulation générale des lois conjointes des records simultanés (inférieurs et supérieurs).