Simplicity of homeo(D2, ∂D2, Area) and fragmentation of symplectic diffeomorphisms

Abstract

In 1980, Albert Fathi asked whether the group of area-preserving homeomorphisms of the 2-disc that are the identity near the boundary is a simple group. In this paper, we show that the simplicity of this group is equivalent to the following fragmentation property in the group of compactly supported, area preserving diffeomorphisms of the plane: there exists a constant m such that every element supported on a disc D is the product of at most m elements supported on topological discs whose area are half the area of D.

En 1980, Albert Fathi pose la question de la simplicité du groupe des homéomorphismes du disque qui préservent l’aire et sont l’identité près du bord. Dans cet article, nous montrons que la simplicité de ce groupe est équivalente à une propriété de fragmentation dans le groupe des difféomorphismes du plan, préservant l’aire et à support compact, à savoir: il existe une constante m telle que tout élément à support dans un disque D est le produit d’au plus m éléments dont les supports sont inclus dans des disques topologiques dont l’aire est la moitié de celle de D.