Experimental Mathematics

Arithmétique des courbes elliptiques à réduction supersingulière en p

Bernadette Perrin-Riou

Full-text: Open access

Abstract

We review the main conjecture for an elliptic curve on {$\Q$} having good supersingular reduction at p and give some consequences of it. Then we define notions of {$\lambda$}-invariant and {$\mu$}-invariant in this situation, generalizing a work of Kurihara and deduce the behaviour of the order of the Shafarevich-Tate group up the cyclotomic {$\Z_p$}-extension. On examples, we give some arguments which, by combining theorems and numeral calculations, allow to calculate the order of the p-primary part of the Shafarevich-Tate group in cases that are not yet known (nontrivial Shafarevich-Tate group, curves of rank greater than 1).

Résumé

Nous faisons le point sur la conjecture principale pour une courbe elliptique sur {$\Q$} ayant bonne réduction supersingulière en p et en donnons quelques conséquences. Puis nous définissons la notion de {$\lambda$} invariant et de {$\mu$} invariant dans cette situation, généralisant un travail de Kurihara et en déduisons la forme de l'ordre du groupe de Shafarevich-Tate le long de la {$\Z_p$}-extension cyclotomique. Par des exemples, nous donnons quelques arguments qui, en alliant théorèmes et calculs numériques, permettent de calculer l'ordre de la composante p-primaire du groupe de Shafarevich-Tate dans des cas non connus jusqu'à présent (groupe de Shafarevich-Tate non trivial, courbes de rang {$\geq 1$}).

Article information

Source
Experiment. Math., Volume 12, Issue 2 (2003), 155-186.

Dates
First available in Project Euclid: 31 October 2003

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.em/1067634729

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2016704

Zentralblatt MATH identifier
1061.11031

Subjects
Primary: 11G40: $L$-functions of varieties over global fields; Birch-Swinnerton-Dyer conjecture [See also 14G10] 11G05: Elliptic curves over global fields [See also 14H52] 11R23: Iwasawa theory

Keywords
Courbe elliptique supersingulier Shafarevich-Tate théorie d'Iwasawa elliptic curves supersingular Shafarevich-Tate Iwasawa Theory

Citation

Perrin-Riou, Bernadette. Arithmétique des courbes elliptiques à réduction supersingulière en p. Experiment. Math. 12 (2003), no. 2, 155--186. https://projecteuclid.org/euclid.em/1067634729


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