Arithmétique des courbes elliptiques à réduction supersingulière en p

Abstract

We review the main conjecture for an elliptic curve on {$\Q$} having good supersingular reduction at p and give some consequences of it. Then we define notions of {$\lambda$}-invariant and {$\mu$}-invariant in this situation, generalizing a work of Kurihara and deduce the behaviour of the order of the Shafarevich-Tate group up the cyclotomic {$\Z_p$}-extension. On examples, we give some arguments which, by combining theorems and numeral calculations, allow to calculate the order of the p-primary part of the Shafarevich-Tate group in cases that are not yet known (nontrivial Shafarevich-Tate group, curves of rank greater than 1).

Nous faisons le point sur la conjecture principale pour une courbe elliptique sur {$\Q$} ayant bonne réduction supersingulière en p et en donnons quelques conséquences. Puis nous définissons la notion de {$\lambda$} invariant et de {$\mu$} invariant dans cette situation, généralisant un travail de Kurihara et en déduisons la forme de l'ordre du groupe de Shafarevich-Tate le long de la {$\Z_p$}-extension cyclotomique. Par des exemples, nous donnons quelques arguments qui, en alliant théorèmes et calculs numériques, permettent de calculer l'ordre de la composante p-primaire du groupe de Shafarevich-Tate dans des cas non connus jusqu'à présent (groupe de Shafarevich-Tate non trivial, courbes de rang {$\geq 1$}).