Sur la courbe modulaire $X_E(7)$

Abstract

Soient k un corps de caractéristique 0 et E une courbe elliptique définie sur k. Il existe une courbe modulaire définie sur k, unique à k-isomorphisme près, qui classifie les courbes elliptiques $E'$ telles que les modules galoisiens des points de 7-torsion de E et $E'$ soient symplectiquement isomorphes. Dans cet article, nous explicitons une équation de cette courbe, et nous en précisons l'interprétation modulaire.

Let k be a field of characteristic O, and E be an elliptic curve defined over k. There exists a modular curve defined over k, unique up to k-isomorphism, which classifies the elliptic curves $E'$ such that the modules of the 7-torsion points of E and $E'$ are galois symplectically isomorphic. In this paper, we explicit an equation of this curve and precise its modular interpretation.