Abstract
En nous appuyant sur la conjecture de Bloch–Kato en K-théorie de Milnor, nous établissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré et le troisième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients . Ceci permet de montrer que sur un solide (en anglais, űthreefold») uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients s’annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d’obtenir que dans certains cas. Ceci permet à l’inverse de déduire d’exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré peut être en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines familles à un paramètre de surfaces, on établit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l’indice de la fibre générique.
Building upon the Bloch–Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree . As a first consequence, a geometric theorem of Voisin implies that the third unramified cohomology group with coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Colliot-Thélène and Ojanguren implies that the integral Hodge conjecture in degree fails for unirational varieties of dimension at least . For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fiber.
Citation
Jean-Louis Colliot-Thélène. Claire Voisin. "Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière." Duke Math. J. 161 (5) 735 - 801, 1 April 2012. https://doi.org/10.1215/00127094-1548389
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