Un renforcement de la propriété (T)

Abstract

On montre que certains groupes de Lie réels ou $p$-adiques vérifient une propriété (T) renforcée, pour des actions à petite croissance exponentielle dans des espaces de Hilbert ou des espaces de Banach uniformément convexes. On montre que les groupes hyperboliques n'ont pas cette propriété. On construit des familles d'expanseurs ne se plongeant uniformement dans aucun espace de Banach uniformement convexe.

We show a strong form of property (T) for some real or $p$-adic semisimple groups. This strong form of property (T) means that the trivial representation is isolated among representations with a small exponential growth in Hilbert spaces or even in uniformly convex Banach spaces.

We show that hyperbolic groups do not have strong property (T). We construct families of expanders which do not imbed uniformly in any uniformly convex Banach space