Le groupe ${\bf GL}_{N}$ tordu, sur un corps $p$-adique, 2ème partie

Abstract

Soient $F$ un corps local non archimédien de caractéristique nulle et $N$ un entier pair ${\geq}\,2$. On considère les groupes algébriques réductifs suivants, tous deux définis et déployés sur ${F} : {\bf G} = {\bf GL}_{N}$ et ${\bf H} = {\bf SO}({N} + {\rm l})$. Soit ${\bf G}^{+} = {\bf G} \times {\bf \{}{\rm l}, {\theta}{\bf \}}$, où $\theta^{2} = 1$ et $\theta$ agit sur {\bf G} par un automorphisme extérieur non trivial. Ce groupe n'est pas connexe. On note $\skew2\tilde{\bf G} = {\bf G} \theta$ la composante connexe qui contient $\theta$. On considère les $L$-paquets de représentations admissibles irréductibles de ${\bf H}(\dot{F})$ qui sont formés de représentations de la série discrète et de réduction unipotente. Dans un article précédent, avec C. Moeglin [MW] nous avons décrit ces $L$-paquets. Soit $\Pi^{H}$ I'un d'eux. Nous associons à $\Pi^H$ une représentation irréductible $\pi^+$ de ${\bf G}^+ (F)$. Notons ${\rm trace}_{\skew3\tilde{G}}\,\pi^+$ la restriction à $\skew2\tilde{\bf G}(F)$ du caractère de $\pi^+$. Nous prouvons que c'est une distribution stable. En supposant valide un lemme fondamental pour la paire ${\rm (}{\bf G}^+ {\rm ,} {\bf H}{\rm )}$, nous prouvons que ${\rm trace}_{\skew3\tilde{G}}\,\pi^+$ est un transfert endoscopique de la somme des caractères des représentations irréductibles appartenant à $\Pi^{H}$. La preuve utilise la théorie de Schneider et Stuhler pour exprimer ${\rm trace}_{\skew3\tilde{G}}\,\pi^+$ comme l'intégrale orbitale d'un pseudo-coefficient de $\pi^+$. On calcule ce pseudo-coefficient grâce à la correspondance de Springer généralisée.

Let $F$ be a nonarchimedean local field of characteristic zero, and let $N$ be an even integer at least $2$. Consider the following algebraic groups, both defined and split over $F:$ ${\bf G}={\bf GL}_{N}$ and ${\bf H}={\bf SO}(N+1)$. Let ${\bf G}^+={\bf G}\rtimes \{1,\theta\}$, where $\theta^2=1$ and $\theta$ act on ${\bf G}$ as the nontrivial outer automorphism. It is a nonconnected group. Let $\tilde{{\bf G}}={\bf G}\theta$ be the connected component that contains $\theta$. We consider $L$-packets of admissible irreducible discrete series representations of ${\bf H}(F)$ of unipotent reduction. In a previous article with C. Moeglin [MW], we have described these $L$-packets. Let $\Pi^H$ be such an $L$-packet. We associate to $\Pi^H$ an admissible irreducible representation $\pi^+$ of ${\bf G}^+(F)$. We prove that the restriction ${\rm trace}_{\tilde{{\bf G}}}\,\pi^+$ to $\tilde{{\bf G}}(F)$ of the character of $\pi^+$ is a stable distribution. Granting a fundamental lemma for the pair (${\bf G}^+$, ${\bf H}$) to be true, we prove then that ${\rm trace}_{\tilde{{\bf G}}}\,\pi^+$ is an endoscopic transfer of the sum of the characters of the representations belonging to $\Pi^H$. The proof uses the Schneider-Stuhler theory to express ${\rm trace}_{\tilde{{\bf G}}}\,\pi^+$ as an orbital integral of a pseudocoefficient of $\pi^{+}$. We use the generalized Springer correspondence to compute this pseudocoefficient.