A Chern–Weil theory for Milnor classes

Abstract

Dans un travail antérieur ([BLSS]), en collaboration avec Brasselet, Suwa et Seade, nous avons presenté une théorie des classes de Milnor pour les ensembles analytiques complexes $V$ qui sont localement des intersections complètes dans une variété holomorphe ambiante $M$ sans singularité. Le principe consistait à comparer, dans ľhomologie $H_{2*}(V)$, deux théories des classes de Chern de $V$, les classes de Schwartz–MacPherson $c_*^{\mathrm{SMP}} (V)$ et les classes virtuelles $c_*^{\mathrm{vir}}(V)$ (encore appelées de Fulton–Johnson): ces deux théories sont égales lorsque $V$ est lisse, et coïncident alors avec ľimage des classes de Chern usuelles par la dualité de Poincaré. Dans le cas général, leur différence se “localise” près de la partie singulière $S$ de $V$: il existe un élément $\mu_*(V, S) \in H_{2*}(S)$, défini naturellement, dont ľimage dans $H_{2*}(V)$ est égale à $(-1)^n[c_*^{\mathrm{Vir}}(V) - c_*^{\mathrm{SMP}}(V)]$. En outre, si $(S_\alpha)_\alpha$ désigne la famille des composantes connexes de $S$, la composante $\mu_0(V, S_\alpha)$ de $\mu_0(V, S)$ sur $H_0(S_\alpha)$ est égale au nombre de Milnor de $S_\alpha$ dans tous les cas où celui-ci a déjà été défini.

Dans [BLSS], nous utilisions à la fois des méthodes de Topologie et de Géométrie différentielle. Nous proposons ici une version de pure Géométrie différentielle.