Finiteness of Record values and Alternative Asymptotic Theory of Records with Atom Endpoints

Abstract

Asymptotic theories on record values and times, including central limit theorems, make sense only if the sequence of records values (and of record times) is infinite. If not, such theories could not even be an option. In this paper, we give necessary and/or sufficient conditions for the finiteness of the number of records. We prove, for example for iid real valued random variable, that strong upper record values are finite if and only if the upper endpoint is finite and is an atom of the common cumulative distribution function. The only asymptotic study left to us concerns the infinite sequence of hitting times of that upper endpoints, which by the way, is the sequence of weak record times. The asymptotic characterizations are made using negative binomial random variables and the dimensional multinomial random variables. Asymptotic comparison in terms of consistency bounds and confidence intervals on the different sequences of hitting times are provided. The example of a binomial random variable is given.

Les théories asymptotiques sur les valeurs et les temps de record, y compris les théorèmes limite centraux, n'ont de sens que si la séquence des valeurs (et des temps de records) est infini. Sinon, de telles théories ne pourraient même pas être une option. Dans cet article, nous donnons les conditions nécessaires et/ou suffisantes pour la finitude du nombre de records. Nous prouvons, par exemple pour une suite variables aléatoires indépendante et identiquement distribuées, que les valeurs de records forts supérieurs sont finies en nombre si et seulement si le point terminal droit de la loi est finie et est un atome de la fonction de distribution cumulative commune. La seule étude asymptotique qui nous reste concerne la séquence infinie des temps de visite de ce point terminal droit. Ce point devient une ensemble de records faibles. Les caractérisations asymptotiques de ces records sont trouvées à l'aide de variables aléatoires binomiales négatives et de variables aléatoires multinomiales dimensionnelles. En utilisant des borne de consistence et d'intervalles de confiance, des comparaisos sont fournies. Le cas de la loi binomiale est entièrement fait.