Stabilization for the semilinear wave equation with geometric control condition

Abstract

In this article, we prove the exponential stabilization of the semilinear wave equation with a damping effective in a zone satisfying the geometric control condition only. The nonlinearity is assumed to be subcritical, defocusing and analytic. The main novelty compared to previous results is the proof of a unique continuation result in large time for some undamped equation. The idea is to use an asymptotic smoothing effect proved by Hale and Raugel in the context of dynamical systems. Then, once the analyticity in time is proved, we apply a unique continuation result with partial analyticity due to Robbiano, Zuily, Tataru and Hörmander. Some other consequences are also given for the controllability and the existence of a compact attractor.

Dans cet article, on prouve la décroissance exponentielle de l’équation des ondes semilinéaires avec un amortissement actif dans une zone satisfaisant seulement la condition de contrôle géométrique. La nonlinéarité est supposée sous-critique, défocalisante et analytique. La principale nouveauté par rapport aux résultats précédents est la preuve d’un résultat de prolongement unique en grand temps pour une solution non amortie. L’idée est d’utiliser un effet régularisant asymptotique prouvé par Hale et Raugel dans le contexte des systèmes dynamiques. Ensuite, une fois l’analyticité en temps prouvée, on applique un théorème de prolongement unique avec analyticité partielle dû à Robbiano, Zuily, Tataru et Hörmander. Des applications à la contrôlabilité et à l’existence d’attracteur global compact pour l’équation des ondes sont aussi données.