On the boundary value problem for the Schrödinger equation: compatibility conditions and global existence

Abstract

We consider linear and nonlinear Schrödinger equations on a domain $\Omega$ with nonzero Dirichlet boundary conditions and initial data. We first study the linear boundary value problem with boundary data of optimal regularity (in anisotropic Sobolev spaces) with respect to the initial data. We prove well-posedness under natural compatibility conditions. This is essential for the second part, where we prove the existence and uniqueness of maximal solutions for nonlinear Schrödinger equations. Despite the nonconservation of energy, we also obtain global existence in several (defocusing) cases.

On étudie des équations de Schrödinger linéaires et non linéaires sur un domaine $\Omega$ avec donnée initiale et condition au bord de Dirichlet non nulles. Dans une première partie on étudie le problème linéaire pour des données au bord dans des espaces de Sobolev anisotropes de régularité optimale par rapport aux données de Cauchy. On démontre la nature bien posée du problème avec les conditions de compatibilité naturelles à tout ordre de régularité. Ces résultats sont essentiels pour établir des résultats de type Cauchy–Lipschitz pour le problème non linéaire, ceux ci font l’objet de la deuxième partie. Malgré la non conservation de l’énergie, on obtient des solutions globales en dimension $2$.